Categorii
Stiinte

Progresie geometrica: suma și formule

Definiția progresiei geometrice

O progresie geometrică este o secvență în care orice element după primul este obținut prin înmulțirea elementului precedent cu o constantă numită raport comun care este notat cu De exemplu, secvența 1, 2, 4, 8, 16, 32 … este o secvență geometrică cu un raport comun de r = 2.

Aici numărul succesiv din serie este dublul numărului său precedent. Cu alte cuvinte, când 1 este înmulțit cu 2, rezultă 2. Când 2 este înmulțit cu 2, dă 4. De asemenea, când 4 este înmulțit cu 2, obținem 8 și așa mai departe. Deci, ce crezi că se întâmplă? Putem spune că raportul celor doi termeni consecutivi din seria geometrică este constant?

De exemplu, a 1 = 1, a 2 = 2
Deci, \ Frac {a_2} {a_1} = \ Frac {2} {1} = 2

De asemenea, a  = 4. Acum să încercăm să găsim raportul unui  și al unui 2
\ Frac {a_3} {a_2} = \ Frac {4} {2} = 2

Acum, deoarece valoarea unui  = 8
\ Frac {a_4} {a_3} = \ Frac {8} {4} = 2

Deci putem spune: \ Frac {a_2} {a_1} = \ Frac {a_3} {a_2} = \ Frac {a_4} {a_3}

Astfel, raportul celor doi termeni consecutivi ai acestei secvențe particulare este un număr fix. O astfel de secvență se numește  Progresie Geometrică. Mai mult,  progresia geometrică este secvența în care primul termen este nul și fiecare termen consecutiv este derivat prin înmulțirea termenului precedent cu o cantitate fixă.

Progresie geometrică finită și infinită

Termenii unei PG finit pot fi scrise ca: ar2ar3… … ar– 1

Termenii unei PG infinit pot fi scrise ca: ar2ar3… … ar– 1… … .

ar2ar3⋯ ar– 1 se numește serie geometrică finită.

ar2ar3⋯ arnse numește serie geometrică infinită .

Exemplu de progresie geometrică

Întrebare: Verificați dacă secvența dată, 9, 3, 1, 1/3, 1/9 …… este în progresie geometrică.
Soluție: Să găsim raportul termenilor consecutivi, a 1 = 9 și a  = 3. Deci,

\ Frac {a_2} {a_1} = \ Frac {3} {9} = \ Frac {1} {3}
\ Frac {a_3} {a_2} = \ Frac {1} {3}

Deoarece raportul dintre termenii consecutivi ai secvenței date este \ Frac {1} {3}, un număr fix, această secvență este în progresie geometrică.

Formule de progresie geometrică

Forma generală a unei progresii geometrice

Forma generală a unui PG este 1,   a 1 r, a 1 r², a 1 r³, ……….., a 1 r n-1 , a  r n

Termenul unei progresii geometrice generale

Dacă reprezentăm fiecare termen al Progresiei Geometrice, cum ar fi un 1 , un 2 , un 3 , un 4 … .a m ,… .a   conform primului termen a 1 , atunci termenii din seria geometrică vor fi următorii

1 = a 1
 = a 1 r
3 = a 2 r = (a 1 r) r = a 1 r²
 = a 3 r = (a 2 r²) = r = a 1 r³
De asemenea, n al treilea  termen va fi

 = a 1 r n-1

Proporția comună a unei progresii geometrice

Obținem raportul comun al seriilor geometrice împărțind orice număr la numărul precedent:

r = \ Frac {a_2} {a_1}

Suma de n termeni ai unui GP:

Suma progresiei geometrice

Luați în considerare medicul

ar2… Ar– 1

Lăsa Snr fie suma dintre n termeni, primul termen și, respectiv, raportul medicului general.

Apoi, Sn = ar2⋯ ar– 1 – (1)

Există două cazuri, fie 1 sau ≠ 1

Dacă r = 1, atunci Sn = ⋯ a = a

Cand ≠ 1.

Înmulțiți (1) cu r dă,

rSn = ar2ar3⋯ ar– 1arn– (2)

Reducerea (1) din (2) dă

rSnSnar2ar3… ar– 2ar– 1arn)– ar2… ar– 2ar– 1)

– )Snarn– (rn– )

Sna(rn– )– )arn)– )

Suma de n termeni =(rn– )– 1; Unde r 1

Proprietățile progresiei geometrice

Următoarele sunt proprietățile PG:

  • Dacă înmulțim sau împărțim o cantitate diferită de zero la fiecare termen al medicamentului general, atunci secvența rezultată este și în PG cu aceeași diferență comună.
  • Reciproc tuturor termenilor din PG formează, de asemenea, un PG
  • Dacă toți termenii dintr-un PG sunt crescuți la aceeași putere, atunci noua serie este și în PG
  • Dacă y² = xz, atunci cei trei termeni nul zero, y și z sunt în PG

Probleme de progresie geometrica

Problema 1.
Secvența 2, 4, 6, 8 … este o progresie geometrică?
Soluție: Nu, nu este. (2, 4, 8 este o progresie geometrică)


Problema 2
Dacă 2, 4, 8 … formează o progresie geometrică. Care este termenul 10?
Soluție: Putem folosi formula a n = a 1 ⋅ r n-1
10 = 2 ⋅ 2 10-1 = 2 ⋅ 512 = 1024


Problema 3
Găsiți factorul de scară și raportul de comandă al unei progresii geometrice dacă
5 – a 1 = 15
4 – a 2 = 6
Soluție: există două progresii geometrice. Primul are un factor de scală 1 și un raport comun = 2
a doua decizie este -16, 1/2